समीकरण $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3} + 1}&{{x^2}y}&{{x^2}z}\\{x{y^2}}&{{y^3} + 1}&{{y^2}z}\\{x{z^2}}&{y{z^2}}&{{z^3} + 1}\end{array}} \right| = 11$ के धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या क्या है?

किसी भी $3 \times 3$ आव्यूह $M$ के लिए,$| M |$,$M$ का सारणिक दर्शाता है। मान लीजिए $E=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 8 & 13 & 18 \end{bmatrix}$,$P=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ और $F=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 8 & 18 & 13 \\ 2 & 4 & 3 \end{bmatrix}$ है। यदि $Q$ कोटि $3 \times 3$ का एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है,तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन $TRUE$ है?
$(A)$ $F = PEP$ और $P^2 = I$
$(B)$ $| EQ + PFQ^{-1} | = | EQ | + | PFQ^{-1} |$
$(C)$ $|(EF)^3| > |EF|^2$
$(D)$ $P^{-1}EP + F$ के विकर्ण अवयवों का योग $E + P^{-1}FP$ के विकर्ण अवयवों के योग के बराबर है।

यदि $A$ एक ऐसा वर्ग आव्यूह है कि $A^2=A$,तो $(I-A)^3$ है

मान लीजिए कि $m$ और $M$ क्रमशः $\left|\begin{array}{ccc}\cos ^{2} x & 1+\sin ^{2} x & \sin 2 x \\ 1+\cos ^{2} x & \sin ^{2} x & \sin 2 x \\ \cos ^{2} x & \sin ^{2} x & 1+\sin 2 x\end{array}\right|$ के न्यूनतम और अधिकतम मान हैं। तो क्रमित युग्म $(m, M)$ किसके बराबर है?

निम्नलिखित में से कौन सा सत्य नहीं है?

मान लीजिए $\omega \neq 1$ इकाई का एक घनमूल है और $S$ उन सभी गैर-शून्य आव्यूहों का समुच्चय है जो $\begin{bmatrix} 1 & a & b \\ \omega & 1 & c \\ \omega^2 & \omega & 1 \end{bmatrix}$ के रूप में हैं,जहाँ $a, b$ और $c$ में से प्रत्येक या तो $\omega$ है या $\omega^2$ है। तो समुच्चय $S$ में भिन्न आव्यूहों की संख्या है